Módulo III: Sucesiones, Límites y Continuidad

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🔹 Introducción General

El estudio de las sucesiones, los límites y la continuidad es el punto de transición entre el álgebra y el análisis matemático.
Estos conceptos permiten entender el comportamiento de las funciones cuando las variables se aproximan a ciertos valores, es decir, cómo evoluciona una cantidad cuando otra cambia.

Desde el crecimiento de una inversión hasta la temperatura de un cuerpo que se enfría, todo fenómeno que implica variación gradual se describe con estas herramientas.

En este módulo aprenderás a:

• Identificar y analizar sucesiones numéricas.

• Calcular límites de funciones y sucesiones.

• Comprender el concepto de continuidad, base del cálculo diferencial.

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🎯 Objetivos del Módulo

Al culminar este módulo, el estudiante podrá:

1. Reconocer y expresar una sucesión numérica.

2. Calcular el término general y límites de una sucesión.

3. Aplicar las propiedades básicas de los límites de funciones.

4. Identificar discontinuidades y determinar si una función es continua.

5. Resolver ejercicios aplicados que muestren el comportamiento de funciones reales.

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🔸 Tema 1: Sucesiones Numéricas

📖 Definición

Una sucesión es una lista ordenada de números, donde cada elemento tiene una posición específica (n).
Se representa como:

$$\{a_n\}=a_1,a_2,a_3,a_4,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$$

El término general $a_n$ permite obtener cualquier elemento de la sucesión.

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✏️ Ejemplo 1

$$a_n=2n+1$$

Sustituimos valores:

n	1	2	3	4	5
aₙ	3	5	7	9	11

✅ Sucesión de números impares.

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✏️ Ejemplo 2

$$a_n = \frac{1}{n}$$

n	1	2	3	4	5
aₙ	1	0.5	0.333	0.25	0.2

A medida que n aumenta, los términos se acercan a 0, aunque nunca llegan a serlo.
👉 Esto nos introduce el concepto de límite.

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⚙️ Clasificación de sucesiones

1. Creciente: cada término mayor que el anterior.

2. Decreciente: cada término menor que el anterior.

3. Constante: todos los términos iguales.

4. Alternante: cambia de signo o dirección.

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🧮 Ejercicio práctico

1. Determina los primeros cinco términos de:
   a) $a_n = 3n – 1$
   b) $a_n = (-1)^n \times n$
   c) $a_n = \frac{n}{n+1}$

✅ Respuestas:
a) 2, 5, 8, 11, 14
b) –1, 2, –3, 4, –5 (alternante)
c) ½, ⅔, ¾, ⅘, ⅚ (creciente y se aproxima a 1)

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🔸 Tema 2: Límite de una Sucesión

📖 Concepto intuitivo

Una sucesión tiene límite si sus términos se aproximan a un número fijo cuando n crece indefinidamente.
Se escribe:

$$\lim_{n→∞} a_n = L$$

Si los términos se acercan cada vez más a L, decimos que la sucesión converge a L.
Si no ocurre, la sucesión diverge.

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✏️ Ejemplo 1

$$a_n = \frac{1}{n}$$ $$\lim_{n→∞} a_n = 0$$

Los términos 1, ½, ⅓, ¼… se acercan indefinidamente a 0.

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✏️ Ejemplo 2

$$a_n = (-1)^n$$

Los términos son: –1, 1, –1, 1, …
👉 No se acercan a ningún valor fijo.
✅ No tiene límite → diverge.

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⚙️ Propiedades básicas

Si $\lim a_n = A$ y $\lim b_n = B$, entonces:

1. $\lim (a_n + b_n) = A + B$
   

2. $\lim (a_n × b_n) = A × B$
   

3. $\lim (k·a_n) = kA$
   

4. $\lim (\frac{a_n}{b_n}) = \frac{A}{B}$ (si B ≠ 0)

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🧮 Ejercicio práctico

Calcula los límites:

1. $a_n = \frac{2n+1}{n}$

2. $b_n = \frac{n}{n+5}$

3. $c_n = \frac{3n^2 + 2}{n^2 + 4}$

✅ Respuestas:

1. $\lim = 2$
   

2. $\lim =1$

3. $\lim =3$

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🔸 Tema 3: Límite de una Función

📘 Definición

El límite de una función describe el valor al que se aproxima f(x) cuando x se acerca a un punto determinado.

$$\lim_{x→a} f(x) = L$$

Significa que al acercarse x a a (por la izquierda o la derecha), f(x) se aproxima al número L.

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✏️ Ejemplo 1

$$f(x) = 2x + 1$$
$$\lim_{x→3} f(x) = 2(3) + 1 = 7$$

El límite coincide con el valor de la función.

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✏️ Ejemplo 2 (con indeterminación)

$$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$

Si sustituimos x = 2 → $\frac{0}{0}$ (indeterminación).
Simplificamos:

$$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$$

Entonces:

$$\lim_{x→2} f(x) = 4$$

✅ Aunque la función no está definida en x=2, su límite sí existe (4).

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⚙️ Límites laterales

A veces el comportamiento difiere según el lado por el que se aproxima x:

$$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)\text{ (izquierda)}y\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)\text{ (derecha)}$$

Si ambos son iguales → existe el límite total.

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🧮 Ejercicio práctico

1. $\lim_{x→1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

2. $\lim_{x→0} \frac{\sin x}{x}$

3. $\lim_{x→2^-} |x - 2|$
   

✅ Respuestas:

1. 2 2. 1 3. 0

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🔸 Tema 4: Continuidad de una Función

📖 Concepto intuitivo

Una función es continua si puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
Formalmente, f es continua en x = a si:

$$\lim_{x→a} f(x) = f(a)$$

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✏️ Ejemplo 1

$$f(x) = 3x + 2$$

Es continua en todo ℝ porque no hay restricciones ni interrupciones.

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✏️ Ejemplo 2

$$f(x)=\frac{1}{x-\mathrm{1}}$$

No está definida en x = 1 → discontinua en ese punto.

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⚙️ Tipos de discontinuidad

Tipo	Descripción	Ejemplo
Removible	Se puede “corregir” redefiniendo f(a).	$\frac{x^2-1}{x-1}$
Infinita	La función tiende a ±∞.	$\frac{1}{x-2}$
De salto	Los límites laterales difieren.	Función escalonada

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🧮 Ejercicio resuelto

$$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ x^2, & x ≥ 0 \end{cases}$$

¿Es continua en x = 0?

$$\lim_{x→0^-} f(x) = 1, \quad \lim_{x→0^+} f(x) = 0^2 = 0$$

✅ Como los límites laterales difieren → discontinua en x = 0.

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🧮 Ejercicios propuestos

1. Determina si $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ es continua en x = 3.

2. ¿En qué puntos es discontinua $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$?

3. Analiza la continuidad de $f(x) = |x|$ en x = 0.

✅ Respuestas:

1. Sí (límite 6 = f(3) si se redefine).

2. x = ±2.

3. Continua (límites iguales).

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🔸 Tema 5: Aplicaciones del Límite y la Continuidad

Los conceptos de límite y continuidad permiten:

1. Determinar comportamientos extremos:
   → Crecimiento, caída o estabilidad de una función.

2. Definir la derivada, que mide tasas de cambio instantáneas.

3. Analizar fenómenos reales: economía, física, biología, ingeniería.

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✏️ Ejemplo aplicado

Temperatura de un objeto:
Un metal caliente enfría su temperatura T(t) según la ley:

$$T(t) = 100e^{-0.1t}$$
$$\lim_{t→∞} T(t) = 0$$

✅ Interpreta: con el tiempo, la temperatura tiende a 0 °C, pero nunca llega exactamente.

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🧩 Ejercicio práctico final

1. Calcula $\lim_{x→∞} \frac{3x^2 + 2}{x^2 + 5}$

2. Determina si $f(x) = \begin{cases} x^2, & x<2 \\ 4x-4, & x≥2 \end{cases}$ es continua en x = 2.

3. Encuentra los primeros cinco términos de $a_n = \frac{n+1}{2n}$ y su límite.

✅ Respuestas:

1. 3 2. Sí (límites iguales a 4) 3. 1, 0.75, 0.666, 0.625, 0.6 → límite = ½