Módulo II: Funciones y Representaciones Gráficas

---

🔹 Introducción General

En Matemática, las funciones son el puente entre el álgebra y el mundo real.
Nos permiten modelar fenómenos, describir relaciones entre magnitudes y predecir comportamientos.
Desde calcular el costo de un producto hasta graficar el crecimiento poblacional, todo puede expresarse mediante una función.

Este módulo profundiza en el concepto de función como correspondencia entre conjuntos, su clasificación, sus propiedades, y las distintas formas de representación gráfica.
Dominarlo te permitirá comprender cómo los números se transforman en relaciones visuales: curvas, rectas, parábolas y más.

---

🎯 Objetivos del Módulo

Al finalizar este módulo, el estudiante podrá:

1. Definir el concepto de función como relación entre variables.

2. Identificar dominio, codominio y rango.

3. Clasificar funciones según su forma algebraica y comportamiento.

4. Representar funciones de forma algebraica, tabular y gráfica.

5. Interpretar gráficamente las variaciones de una función.

6. Resolver ejercicios que combinen análisis algebraico y representación visual.

---

🔸 Tema 1: Concepto de Función

📖 Definición

Una función es una relación entre dos conjuntos, A (dominio) y B (codominio), que asigna a cada elemento de A un único elemento de B.

$$f: A \to B$$
$$f(x)=y$$

Donde:

• x: variable independiente (entrada).

• y: variable dependiente (salida).

• El conjunto de todos los valores posibles de x es el dominio.

• El conjunto de los valores obtenidos (f(x)) se llama rango o imagen.

---

✏️ Ejemplo básico

Sea $f(x) = 2x + 3$.
Si el dominio es $\{0, 1, 2, 3\}$, entonces:

x	f(x)
0	3
1	5
2	7
3	9

✅ Cada x tiene una única imagen f(x), por lo tanto, f es una función.

---

⚙️ Ejemplo que no es una función

Relación: $x^2 = y$.
Si x = ±2, entonces y = 4.
Aquí un mismo valor de y corresponde a dos valores de x → no hay unicidad.
✅ Es una relación, no una función unívoca.

---

🧮 Ejercicios propuestos

1. Determina si las siguientes relaciones son funciones:
   a) $f(x) = x + 1$
   b) $y^2 = x$
   c) $f(x) = |x|$
   

✅ Respuestas:
a) Sí b) No c) Sí

---

🔸 Tema 2: Dominio, Codominio y Rango

📘 Definiciones clave

• Dominio (D): conjunto de valores que puede tomar x.

• Codominio (C): conjunto donde viven los valores de salida (y).

• Rango o imagen (R): valores de y que realmente toma la función.

---

✏️ Ejemplo 1

$$f(x)=\frac{1}{x-\mathrm{2}}$$

• El denominador no puede ser cero, por tanto:
  $x ≠ 2$
  ✅ Dominio: $ℝ - \{2\}$

• El valor 0 nunca puede ser resultado, porque 1/(x–2) nunca da 0.
  ✅ Rango: $ℝ - \{0\}$

---

✏️ Ejemplo 2

$$f(x)=\sqrt{x+1}$$

La raíz cuadrada solo existe para valores ≥ 0, por tanto:
$x + 1 ≥ 0 \Rightarrow x ≥ -1$

✅ Dominio: [–1, ∞)
✅ Rango: [0, ∞)

---

🧮 Ejercicio propuesto

1. Determina el dominio de $f(x) = \frac{x+1}{x^2-9}$

2. Determina el dominio de $f(x) = \sqrt{4-x}$
   

✅ Respuestas:

1. $x ≠ 3, -3$ → Dominio: $ℝ - \{-3, 3\}$
   

2. $4 - x ≥ 0 → x ≤ 4$ → Dominio: (–∞, 4]

---

🔸 Tema 3: Formas de Representación de una Función

Una función puede expresarse de diferentes maneras:

Tipo	Descripción	Ejemplo
Verbal	Explicada con palabras.	“A cada número se le suma 3.”
Algebraica	Mediante una expresión matemática.	$f(x) = x + 3$
Tabular	Con pares ordenados (x, f(x)).	(1,4), (2,5), (3,6)
Gráfica	En el plano cartesiano.	Línea recta creciente

---

📊 Representación Gráfica

El plano cartesiano se compone de dos ejes perpendiculares:

• Eje X → variable independiente.

• Eje Y → variable dependiente.

Cada punto (x, y) se llama par ordenado.

Ejemplo:
Para $f(x) = 2x + 1$:

x	f(x)
–1	–1
0	1
1	3
2	5

Al graficar estos puntos, se obtiene una línea recta creciente.

---

🧮 Ejercicio práctico

Dibuja el gráfico de $f(x) = –x + 2$.
Completa la tabla:

x	f(x)
–1	?
0	?
1	?
2	?

✅ Respuestas:
f(–1)=3, f(0)=2, f(1)=1, f(2)=0.
→ Gráfica: recta decreciente, que corta el eje Y en (0,2).

---

🔸 Tema 4: Tipos de Funciones

1️⃣ Función Constante

$$f(x) = k$$

• Representa una línea horizontal.

• Rango: un solo valor.
  Ejemplo: $f(x) = 5$
  

---

2️⃣ Función Lineal

$$f(x)=mx+b$$

• m: pendiente (inclinación).

• b: ordenada al origen (punto de corte con el eje Y).
  Ejemplo: $f(x) = 2x + 1$
  

✅ Si m > 0 → creciente
✅ Si m < 0 → decreciente

---

3️⃣ Función Cuadrática

$$f(x)=a{x}^2+bx+c$$

• Gráfica: parábola.

• Si a > 0 → abre hacia arriba.

• Si a < 0 → abre hacia abajo.

• Vértice: $V(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$
  

Ejemplo: $f(x) = x^2 - 4x + 3$

Cálculo del vértice:
V = 4/2 = 2
f(2) = 2² - 8 + 3 = –1
✅ Vértice: (2, –1)

---

4️⃣ Función Valor Absoluto

$$f(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$$

• Gráfica en forma de “V”.

• Creciente para x ≥ 0, decreciente para x < 0.

---

5️⃣ Función Racional

$$f(x)=\frac{1}{\mathrm{x}}$$

• Tiene asíntota vertical en x = 0.

• No pasa por el origen.

• Gráfica: dos ramas opuestas.

---

🧮 Ejercicios propuestos

1. Determina el vértice de $f(x) = x^2 - 6x + 8$
   

2. Identifica si la función $f(x) = -3x + 4$ es creciente o decreciente.

3. Dibuja la gráfica de $f(x) = |x - 2|$.

4. Encuentra los interceptos con los ejes de $f(x) = 2x - 4$.

✅ Respuestas:

1. V(3, –1) 2. Decreciente (m = –3)

2. Vértice (2, 0), forma de V.

3. Eje X: (2, 0) Eje Y: (0, –4)

---

🔸 Tema 5: Transformaciones y Simetrías

Las funciones pueden trasladarse, reflejarse o estirarse en el plano.

Tipo de transformación	Efecto sobre la gráfica
$f(x) + k$	Desplazamiento vertical hacia arriba (k > 0) o abajo (k < 0)
$f(x - h)$	Desplazamiento horizontal hacia la derecha (h > 0) o izquierda (h < 0)
$-f(x)$	Reflexión respecto al eje X
$f(-x)$	Reflexión respecto al eje Y
$a·f(x)$, con a > 1	Estiramiento vertical
$0 < a < 1$	Compresión vertical

---

✏️ Ejemplo resuelto

Sea $f(x) = x^2$:

1. $f(x) + 2$: se eleva 2 unidades.

2. $f(x - 3)$: se desplaza 3 unidades a la derecha.

3. $-f(x)$: se refleja hacia abajo.

---

🧮 Ejercicio práctico

Describe la transformación de $f(x) = (x + 2)^2 - 3$.
✅ Respuesta: Trasladada 2 unidades a la izquierda y 3 hacia abajo.

---

🔸 Tema 6: Análisis de una Función a partir de su Gráfica

Desde una gráfica puedes determinar:

Propiedad	Interpretación
Dominio	Proyección en eje X.
Rango	Proyección en eje Y.
Crecimiento / decrecimiento	Pendiente positiva o negativa.
Máximos y mínimos	Puntos donde cambia la dirección.
Interceptos	Puntos donde corta los ejes.

Ejemplo:
Una parábola $f(x) = –x^2 + 4x$

• Máximo en x = 2 → f(2) = 4

• Corta eje X en (0, 0) y (4, 0)

✅ Interpretación: la función aumenta hasta x = 2 y disminuye después.

---

🧮 Ejercicio propuesto

1. Para $f(x) = x^2 - 2x - 3$:

   • Determina el vértice.

   • Indica si abre hacia arriba o abajo.

   • Halla los interceptos con los ejes.

✅ Solución:
Vértice: (1, –4)
Abre hacia arriba (a = 1)
Interceptos: X → (–1, 0) y (3, 0); Y → (0, –3)